«to weigh all pros and cons»

weight — масса
atomic weight — атомный вес
specific gravity — удельный вес
by weight, weighing — на вес, весом
Пример: weighing two kilogram — весом в два килограмма

put on / lose weight — прибавить / убавить в весе
metric weight — метрический вес
apothecaries' weight — аптекарский вес

weight — влияние, авторитет
be highly influential — влиятельный, иметь большой вес (о человеке)
carry weight — важное, влиятельное (о мнении и т.п.)

Устойчивые выражения:
на вес золота — worth one's weight in gold
вес пера спорт — featherweight
вес петуха спорт — bantamweight
на весу — hanging, suspended, balanced

to influence deeply / profoundly / strongly — оказывать сильное влияние
Пример: Who influenced her to do that? — Кто побудил её сделать это?

Influence — влияние, действие, воздействие
bad / baleful / baneful influence — дурное влияние
cultural influence — культурное влияние
far-reaching influence — далеко идущее влияние
moral influence — моральное влияние
powerful / profound / strong influence — сильное, мощное влияние
salutary influence — благотворное влияние
undue influence — чрезмерное влияние
unwholesome influence — нездоровое влияние

authority — авторитет, вес, влияние
to undermine authority — подрывать авторитет